Udowodniono też: uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji; odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.
Treść Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-25].: odwzorowanie ma dokładnie jeden punkt stały oraz dla dowolnego ciąg jest zbieżny do
Dowód Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem będzie stałą Lipschitza kontrakcji a jej punktami stałymi. Mamy wówczas
W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą implikujących Finalna nierówność zachodzi tylko dla co z definicji metryki oznacza, że a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.
Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość między wartością -tej i -tej iteracji kontrakcji dla punktu (korzystając przy tym -krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo jest zupełna).