Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji że jego granica jest punktem stałym przekształcenia
Możliwe są inne dowody tego twierdzenia, w tym niekonstruktywne.
Zastosowania Za pomocą tego twierdzenia można wykazać: twierdzenie o funkcji uwikłanej, twierdzenie o funkcji odwrotnej, twierdzenie Stone’a-Weierstrassa, istnienie atraktora układu przekształceń zwężających, zbieżności niektórych algorytmów numerycznych; zob. np. metoda Gaussa-Seidla.
Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowych i całkowych.
Uogólnienia W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni w siebie, pozbawioną punktów stałych.
Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległości: , dla różnych od siebie .