Funkcja zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.
Mimo to jeśli przestrzeń jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego.
Twierdzenie zachodzi też dla funkcji: z kontraktywną iteracją naturalną; spełnianiających nierówności typu
gdzie jest przekształceniem przedziału w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne.
Twierdzenia odwrotne Twierdzenie Bessagi Jeśli jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to można zmetryzować w sposób zupełny tak, by było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału zadana z góry.
Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 roku.
Twierdzenie Meyersa Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną, a odwzorowaniem spełniającym następujące warunki: dla pewnego dla każdego istnieje takie otoczenie punktu że dla dowolnego otoczenia tego punktu istnieje taki indeks że dla
Wówczas dla dowolnej stałej istnieje równoważna z metryka zupełna na przy której jest kontrakcją ze stałą .
Przypisy
Bibliografia