z budową Międzynarodowej Stacji Kosmicznej. 2002-2005 – po zakończeniu kursu podstawowego otrzymał przydział do Wydziału Eksploatacji Stacji Kosmicznej (Station Operations Branch) Biura Astronautów NASA. 2006 – od 26 do 28 stycznia wspólnie z Maksimem Surajewem z Rosji oraz Nicole Stott, astronautką NASA, uczestniczył w teście na umiejętność przeżycia na wypadek awaryjnego lądowania na obszarach niezamieszkanych. Zadanie to realizowali w jednym z podmoskiewskich lasów. Od 16 do 22 sierpnia uczestniczył w podwodnej misji NEEMO 11 (NASA Extreme Environment Mission Operations) realizowanej przez NASA i NOAA. Wspólnie z T. Koprą w eksperymencie uczestniczyli również inni członkowie korpusu astronautów: Sandra Magnus, Timothy Creamer oraz Robert Behnken. Wyniki badań jakie wówczas uzyskano mają być wykorzystane przez NASA m.in. w pracach nad powrotem astronautów na Księżyc i w ewentualnej załogowej misji na Marsa. 2007 – w lutym NASA wyznaczyła go do załogi rezerwowej Ekspedycji 16, a później Ekspedycji 17 na Międzynarodową Stację Kosmiczną. W lecie otrzymał wstępny przydział do podstawowego składu Ekspedycji 18. Na ISS miał dotrzeć razem z załogą STS-127Komunikat NASA o składzie załogi STS 127.. Kopra został specjalistą tej misji. 2009 – 15 lipca rozpoczął swój pierwszy lot kosmiczny na pokładzie wahadłowca Endeavour (STS-127).