gdzie S to otwarta powierzchnia rozpięta na krzywej C. Postać całkową można zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Stokesa:
Niespójność prawa Ampera i zasady zachowania ładunku Stosując dywergencje po obu stronach prawa Ampera, otrzymujemy:
Dywergencja z rotacji dowolnego pola wektorowego (tym samym pola magnetycznego B) zawsze jest równa zero:
Łącząc te dwa równania, otrzymujemy
Ponieważ to niezerowa stała, możemy stwierdzić
Co jest sprzeczne z zasada zachowania ładunku, która mówi, że
Dlatego, tak jak w przypadku prawa Kirchhoffa, prawo Ampera obowiązuje tylko wówczas, gdy gęstość ładunku jest stała, co wyklucza sytuację, która ma miejsce podczas ładowania i rozładowywania kondensatora.
Poprawka Maxwella do prawa Ampera Prawo Gaussa w postaci całkowej można zapisać równaniem
gdzie S to zamknięta powierzchnia obejmująca objętość V. Postać całkową możemy zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:
Różniczkując obie strony po czasie i zmieniając kolejność różniczkowania po lewej stronie równania, otrzymujemy:
To prowadzi do wniosku, że oprócz gęstości prądu j źródłem pola magnetycznego jest też tzw.