Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji (zob. analiza zespolona).
Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci
Jest on zbieżny dla każdego do (sumy):
Jeżeli przyjąć dla jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci
który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.
Zbieżność Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze i o wartościach w przestrzeni
Zbieżność punktowa
Mówi się, że szereg jest zbieżny punktowo w zbiorze gdy dla każdego zbieżny jest szereg Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg sum częściowych Określoną w ten sposób funkcję nazywa się sumą szeregu funkcyjnego
Zbieżność jednostajna
Szereg jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.
Dokładniej, szereg jest zbieżny jednostajnie w zbiorze do funkcji gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu jest dowolnie mała dla wszystkich tzn.