gdy dla dowolnej liczby istnieje taka liczba naturalna że dla wszystkich i dla wszystkich zachodzi nierówność
Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się kryterium Abela, kryterium Dirichleta, kryterium Weierstrassa.
Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie – twierdzenie Weierstrassa Niech dany będzie szereg funkcyjny zbieżny jednostajnie w przedziale do funkcji Wówczas: jeżeli wszystkie wyrazy ciągu są ciągłe, to jego suma też jest funkcją ciągłą; jeżeli jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg jest zbieżny jednostajnie, to funkcja jest różniczkowalna oraz
dla jeżeli ponadto wyrazy ciągu są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale oraz szereg jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to
Przykład Szereg
jest zbieżny punktowo do funkcji w przedziale jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.
Bibliografia