W 1983 przeniósł się do Meksyku, gdzie występował w klubie UAG Tecos przez rok. Po powrocie do Urugwaju rozegrał sezon w klubie CA Peñarol, zdobywając drugi tytuł mistrza Urugwaju, a następnie kolejny raz znalazł się w Argentynie. Przez kilka lat grał w argentyńskim klubie River Plate, z którym zdobył mistrzostwo Argentyny w 1986, wygrał turniej Copa Libertadores 1986, a następnie zdobył Puchar Interkontynentalny. W 1986 roku wybrany został najlepszym piłkarzem Ameryki Południowej. Wraz z reprezentacją Urugwaju wystąpił w finałach mistrzostw świata w 1986, gdzie Urugwaj dotarł do 1/8 finału. Alzamendi zagrał w trzech meczach grupowych - z Niemcami, Danią i Szkocją. W meczu z Niemcami zdobył bramkę. W 1987 razem z klubem River Plate zdobył Copa Interamericana.
W turnieju Copa América 1987 Urugwaj obronił miano najlepszej reprezentacji Ameryki Południowej, a znaczący udział w tym sukcesie miał Alzamendi, który zdobył zwycięską bramkę w półfinałowym meczu z Argentyną. Zagrał także w finale przeciwko Chile.