Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone. Jeśli to kompleks jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez W kompleksie tym:
Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: i dla dowolnych Greenberg, op. cit., s. 105..
Homotopie łańcuchowe Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe między kompleksami a powiemy, że ciąg morfizmów jest homotopią łańcuchową między i jeżeli spełniona jest zależność
Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach – istotnie, jeżeli jest cyklem, to mamy:
gdyż bo jest cyklem. Stąd jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.
Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych nazwiemy przekształcenia łańcuchowe takie, że dla każdego następujący ciąg jest dokładny:
Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można „wyprostować” do długiego ciągu dokładnego grup homologii:
gdzie są naturalne. Istnienie przekształceń można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu.