Zobacz też: Ciąg Mayera-Vietorisa.
Przykłady kompleksów łańcuchowych W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.
Singularny kompleks łańcuchowy Mając dowolną przestrzeń topologiczną możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:
Niech będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń z n-sympleksu w Określmy operator brzegu przez
gdzie oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach a oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.
Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie co dowodzi, że jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni
Kompleksy kołańcuchowe Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:
Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Topologia algebraiczna Kategoria:Algebra abstrakcyjna