To znaczy, że
System formalny S jest syntaktycznie zupełny, lub inaczej zupełny dedukcyjnie, czy też maksymalnie zupełny, albo po prostu zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy, dla każdego wyrażenia A z języka danego systemu A albo ¬A jest twierdzeniem w S. Mówimy wtedy o zupełności zaprzeczeniowej. Innym słowy, system formalny jest syntaktycznie zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy nie można dodać żadnego niewywodzącego się zeń aksjomatu bez wprowadzenia niedorzeczności. Logika z funkcją prawdy predykatów i rachunek predykatów pierwszego rzędu są semantycznie zupełne, lecz nie są syntaktycznie zupełne (np. wyrażenie rachunku zdaniowego składające się z jednej zmiennej „a” ani jego zaprzeczenie nie jest twierdzeniem, ale nie są to tautologie). Twierdzenie Gödla o niezupełności pokazuje że nie ma systemu rekurencyjnie będącego dostatecznie bogatym, tak jak aksjomatyka Peana, który byłby zarówno niesprzeczny, jak i zupełny.
System formalny jest niezupełny dokładnie gdy każde zdanie jest twierdzeniemAlfred Tarski, Über einige fundamentale Begriffe der Mathematik, Comptes Rendus des séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie 23 (1930), Cl. III, s. 22–29. Tłumaczenie na angielski: Alfred Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, Claredon Press, Oxford, 1956, s.