W związku z tym
a ponieważ czyli dla to .
Dla przestrzeni rzeczywistych twierdzenie to można wysłowić w przypadku dwuwymiarowym w następujący sposób: pole równoległoboku równe jest iloczynowi długości podstawy i wysokości; w przypadku trójwymiarowym: objętość równoległościanu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości. W ogólności zaś:
Zgodnie z uwagami z poprzedniej sekcji, jeśli ze standardowym iloczynem skalarnym, to dla dowolnej macierzy odwracalnej moduł wyznacznika
gdzie dla można jest -wymiarową objętością równoległościanu w rozpiętego na kolumnach bądź wierszach macierzy Biorąc pod uwagę orientację bazy wyznacznik należy interpretować jako -wymiarową zorientowaną objętość wspomnianego równoległościanu. Jeśli macierz nie jest odwracalna, to jej wiersze (i kolumny) są liniowo zależne, skąd Analogiczną interpretację uzyskuje się w przypadku przestrzeni
Iloczyn wektorowy
Wybór iloczynu skalarnego i orientacji w -wymiarowej przestrzeni liniowej nad umożliwia podanie metody dopełniania liniowo niezależnego układu wektorów do bazy tej przestrzeni.