Zaznaczono wartości energii odpowiadające rozkładom gdzie:
oznaczają wielomiany Hermite’a, gdzie np.
Postać funkcji falowych pokazuje rysunek obok.
Stanom odpowiadają energie oscylatora:
Układ kwantowy drgający harmonicznie przyjmuje tylko wyróżnione wartości energii, czym różni się od układu klasycznego (makroskopowego) – ten ostatni może drgać, mając dowolną wartość energii. Ponieważ drgające układy mikroskopowe faktycznie przyjmują dyskretne poziomy energii, widoczne się staje, że teoria Schrödingera dostarcza właściwego ich opisu.
Różnica między kolejnymi poziomami energii jest stała i wynosi Animacja u góry pokazuje, że poziomy rzeczywistej cząsteczki HCl dla większych energii stopniowo zagęszczają się. Dla większych energii wzrasta amplituda i drgania przestają być harmoniczne, co było zakładane wcześniej. Opis takiego ruchu wymagałby dodania do hamiltonianu dodatkowego wyrazu, odpowiadającego za nieharmoniczny składnik siły. Drugie spostrzeżenie: najmniejsza energia drgań nie jest zerowa, gdyż Jest to tzw. energia drgań zerowych, która nie jest znana fizyce klasycznej.