Dlatego stosuje się równanie Schrödingera niezależne od czasu:
gdzie – energia układu, – składnik funkcji falowej niezależny od czasu, opisujący stan układu, – operator Hamiltona. Postać operatora otrzymuje się, zastępując w wyrażeniu na energię całkowitą oscylatora klasycznego (patrz wyżej), pęd operatorem pędu
Podstawiając jawną postać operatora wartości pędu, otrzymuje się ostatecznie:
Równanie Schrödingera bez czasu przyjmuje więc postać:
Rozwiązanie tego równania daje zbiór możliwych stanów stacjonarnych
thumb|390x300px|Energia potencjalna oscylatora (niebieska parabola) i kilka pierwszych stanów własnych w zależności od wychylenia Wykresy umieszczono na wysokościach odpowiadających energiom tych stanów. Zaznaczono skok wartości energii Energia stanu podstawowego jest większa od zera. Widać też, że amplituda ruchu wzrasta z energią. thumb|390x300px|Gęstości prawdopodobieństwa odpowiadające funkcjom falowym Z wykresów widać, że szansa znalezienia oscylatora w pobliżu maksymalnego wychylenia od położenia równowagi jest największa. Odpowiada to sytuacji oscylatora klasycznego, który w punktach amplitudy przebywa najdłużej. U dołu – gęstość prawdopodobieństwa dla stanu podstawowego: widać, że w tym stanie oscylator najczęściej znajduje się w położeniu równowagi.