Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych„Encyklopedia fizyki” praca zbiorowa, PWN 1973, T. 1, s. 737.
gdzie: – współrzędne uogólnione, – pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej), – liczba stopni swobody, – czas.
Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równania Hamiltona-Jacobiego.
Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.
W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.
Metody otrzymywania funkcji Hamiltona Funkcję Hamiltona otrzymuje się, z wyrażenia na energię całkowitą układu, z funkcji Lagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre’a),
przy czym należy zastąpić prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.
Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.
Punkt materialny (1) Jeżeli cząstka o masie porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci
Ponieważ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać: