(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać
Stąd funkcja Hamiltona ma postać
Oscylator harmoniczny Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku ma postać
Stąd funkcja Hamiltona ma postać
Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a
gdzie: – współrzędna uogólniona, – prędkość uogólniona, – czas.
Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej
Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a
przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.