Był nim dobrze sprawujący się B36 Tórshavn, mistrz kraju z roku 2001. Mørkøre rozegrał w tej drużynie 41 spotkań i zdobył 14 bramek. Jego zespół dwukrotnie, w 2003 i 2004 zostawał wicemistrzem Wysp Owczych, zdobył też Puchar archipelagu (2003). Allan Mørkøre opuścił go w 2005, po raz pierwszy przenosząc się do zespołu grającego w drugiej lidze, AB Argir. W ciągu roku, kiedy ten zawodnik występował barwach tego klubu, udało się im awansować do pierwszej ligi z drugiego miejsca, za B71 Sandoy.
Kolejny raz Mørkøre przeniósł się na początku roku 2007, powracając na krótki czas do B36 Tórshavn, zdobywając jedną bramkę w spotkaniu trzeciej kolejki, przeciwko VB/Sumba (B36 Tórshavn wygrał 4:0)Raport meczów trzeciej kolejki na stronie Farerskiego Związku Piłki Nożnej., jednak po ośmiu meczach, na przełomie czerwca i lipca wrócił do AB Argir. Rozegrał tam 12 spotkań, strzelając trzy bramki, ostatnią w przegranym 2:1 meczu z NSÍ RunavíkRaport meczów dwudziestej piątej kolejki na stronie Farerskiego Związku Piłki Nożnej..