Stopień ten w przeanalizowanym przypadku równa się stopniowi rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu który przyjmuje wartość po podstawieniu doń tego elementu i zwany jest sam wielomianem minimalnym dla tegoż elementu.
Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z Dla elementów algebraicznych nad od do i również jest liczbą skończoną.
Jeżeli więc dla danego ciała które stanowi rozszerzenie ciała dla dowolnego jego elementu zachodzi druga opisana sytuacja, to znaczy każdy element rzeczonego rozszerzenia jest algebraiczny nad a żaden nie jest przestępny, to wtedy stanowi rozszerzenie algebraiczne .
Jak wynika z powyższych rozważań, rozszerzenie algebraiczne jest skończone. Prawdą jest także implikacja w drugą stronę: mianowicie każde rozszerzenie skończone ciała jest zarazem algebraiczne. Jeśli bowiem jest skończone, to dla każdego elementu wziętego z rozszerzenie będzie podciałem Wobec tego nie będzie mogło być większe od które przyjmuje skończoną wartość. W efekcie także będzie miało wartość skończoną. Wobec tego rozszerzenie to będzie podpadać pod drugi z rozważanych przykładów i element będzie algebraiczny nad tym ciałem. Jako że tyczy się to dowolnego elementu wybranego z ciała rozszerzenie musi więc być algebraiczne.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Algebraic extension , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Teoria ciał