jest określona tylko wtedy, gdy jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC): Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe). Dla każdej formuły w której nie ma kwantyfikowania po klasach, wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów, które spełniają tę formułę. Aksjomat pary (dla każdych zbiorów istnieje zbiór którego jedynymi elementami są i ). Dla każdej klasy C, istnieje zbiór taki że wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów. Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów Aksjomat sumy: dla każdego zbioru istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów zbioru Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn.