zgodnie z twierdzeniem jest równe lub mniejsze od niego o liczbę parzystą: krótko: W szczególności: jeśli wynosi zero lub jeden, to również wynosi odpowiednio zero lub jeden. Twierdzenie to można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej i analizy rzeczywistej – z własności pochodnych wielomianów i z bardziej ogólnych faktów jak twierdzenia Rolle’a.
Uogólnieniem tego faktu jest twierdzenie Sturma. Znajduje ono liczbę miejsc zerowych wielomianu rzeczywistego w dowolnym przedziale liczbowym – nie tylko w dwóch nieskończonych przedziałach wszystkich liczb dodatnich lub ujemnych
Przykłady Przykład trójmianu kwadratowego W wielomianie
mamy dwie zmiany znaku, zatem nasz wielomian ma zero lub dwa dodatnie pierwiastki. W istocie ma jeden dwukrotny:
Przykład funkcji kubicznej W wielomianie
zachodzi jedna zmiana znaku – między drugim a trzecim składnikiem Stąd wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Widać to wyraźnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki:
−1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jedynym dodatnim jest 1.
Zmieniając znak na przeciwny przy nieparzystych potęgach wielomianu, otrzymuje się wielomian:
Tu znak zmienia się dwukrotnie, między pierwszym a drugim oraz między trzecim a czwartym składnikiem. Zatem wielomian wyjściowy ma dwa lub zero pierwiastków ujemnych.