wyznacznik podmacierzy) stopnia powstały z usunięcia -tego wiersza oraz -tej kolumny macierzy pomnożony przez Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy będzie oznaczane dalej symbolem tzn.

Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy nazywa się macierz złożoną z dopełnień algebraicznych elementów tej macierzy. Macierzą dołączoną do macierzy nazywa się transpozycję jej macierzy dopełnień algebraicznych, tzn.

Własności Jeśli i są macierzami kwadratowymi stopnia a oznacza macierz jednostkową tego samego stopnia, to

oraz

i dodatkowo

Wzór permutacyjny na wyznacznik i rozwinięcie Laplace’a

Ze wzoru permutacyjnego na wyznacznik macierzy stopnia

przy czym sumowanie odbywa się po wszystkich permutacjach zbioru początkowych dodatnich liczb całkowitych (tzn. po elementach grupy permutacji ), zaś oznacza znak permutacji równy gdzie oznacza liczbę inwersji tej permutacji, wynikają wzory będące przedstawieniami wyznacznika w postaci kombinacji liniowej elementów ustalonego wiersza bądź kolumny, tzn.

bądź

gdzie pierwszy z nich nazywa się rozwinięciem Laplace’a wyznacznika macierzy względem jej -tego wiersza, a drugi – względem jej -tej kolumny.