Wzory te wykorzystuje się niekiedy do rekurencyjnego zdefiniowania wyznacznika (dopełnienia algebraiczne zawierają w sobie wyznaczniki stopnia niższego o jeden) z warunkiem początkowym dla macierzy stopnia pierwszego (wyznacznik równy jedynemu elementowi) lub zerowego (wyznacznik równy jedności) – wówczas wzór permutacyjny na wyznacznik dowodzony jest jako twierdzenie z tej definicji (oba te wzory są dowodzone jako twierdzenia przy definicji wyznacznika jako wieloliniowej formy alternującej maksymalnego rzędu).
Iloczyn macierzy przez macierz do niej dołączoną
Interpretacja mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory w rozwinięciu Laplace’a (względem wiersza bądź kolumny) macierzy umożliwia utożsamienie jej wyznacznika z elementami przekątnej głównej iloczynu macierzy Pozostałe elementy tej macierzy są równe zeru, gdyż zgodnie z tą samą interpretacją tworzą one wyznacznik macierzy, której wiersze bądź kolumny powtarzają się dwukrotnie, a więc są liniowo zależne, skąd wyznacznik tej macierzy musi być równy zeru. W zapisie macierzowym wzór ten, nazywany dalej „wzorem podstawowym”, przedstawia się następująco:
Tłumaczy on uwagę poczynioną we wstępie o związku macierzy dołączonej z macierzą odwrotną (definiowaną wzorem ) do macierzy Jeśli jest odwracalna, czyli nieosobliwa, tzn. to