W otoczeniu punktu możemy wybrać dwie dowolne mapy i (takie, że ) i mamy dwa zestawy współrzędnych lokalnych: i Pochodną możemy policzyć zarówno we współrzędnych jak i Aby pochodna zewnętrzna miała sens, policzona i w jednych i w drugich współrzędnych, musi być równa, czyli po policzeniu pochodnej we współrzędnych i przejściu do współrzędnych musimy dostać pochodną policzoną we współrzędnych Okazuje się, że tak jest w istocie – pochodna zewnętrzna nie zależy od wyboru współrzędnych lokalnych.
Formy dokładne i zamknięte
Formę różniczkową którą można przedstawić w postaci dla pewnej formy różniczkowej nazywa się dokładną lub zupełną. Formę różniczkową której pochodna zewnętrzna znika, tzn. nazywa się zamkniętą. Licząc dla dowolnej formy różniczkowej dostaje się
o ile forma różniczkowa jest klasy co najmniej Wynika to z twierdzenia Schwarza. Wynika stąd, że każda forma dokładna jest zamknięta. Odwrotna implikacja nie jest prawdziwa, jednakże jak wynika z lematu Poincarego formy zamknięte są dokładne na zbiorach otwartych i gwiaździstych.