Niezmienność interwału implikuje, że muszą zachodzić warunki
Z dokładnością do znaku rozwiązanie powyższego układu równań ma postać
Łatwo to sprawdzić, wiedząc, że dla funkcji hiperbolicznych słuszna jest tożsamość
Powyższą macierz transformacji nazywa się macierzą obrotu hiperbolicznego – określa ją jeden ciągły parametr który pełni rolę kąta obrotu analogiczną do roli parametrów określających zwykły obrót w płaszczyźnie. Macierze tego typu tworzą grupę (zaś macierze obrotu w przestrzeni tworzą grupę macierzy ortogonalnych ).
Można łatwo sprawdzić, że powyższa macierz spełnia warunek
a więc jest to macierz pseudoortogonalna. Nie jest to jednak macierz ortogonalna, gdyż
Parametryzacja transformacji Lorentza Transformację Lorentza można teraz zapisać jako
Parametr jest związany ze współrzędną prędkości drugiego układu O′ względem układu początkowego O zależnością
Powyższa parametryzacja jest poprawna, gdyż tangens hiperboliczny ma wartości
co odpowiada warunkowi,
– zgodnie z tym, że prędkość jest zawsze mniejsza niż prędkość światła.