Wyrażając przez otrzyma się jawną postać tej transformacji Lorentza dla ruchu układu w kierunku osi
przy czym
Łatwo sprawdzić, że wyznacznik powyższej transformacji wynosi To samo dotyczy wszystkich właściwych transformacji Lorentza.
Uwaga: Parametr dlatego grupa Lorentza nie jest zwarta ze względu na pchnięcia Lorentza – macierze odpowiadające tym transformacjom, są symetryczne (tak jest dla obrotów hiperbolicznych – zwykłe obroty są reprezentowane przez macierze ortogonalne).
Generatory macierzy transformacji Lorentza Definicja generatora Generator związany z daną macierzą zależną od parametru definiuje się jako pochodną po tym parametrze, obliczoną dla
gdzie – dowolna liczba zespolona (liczbę przyjmuje się tak, by inne wzory teorii miały wygodną postać). Generator jest macierzą. Macierz wyraża się za pomocą eksponenty generatora z odpowiednim współczynnikiem, tj.
Przykład Dla macierzy
przyjmuje się postać generatora
Ponieważ
to otrzymuje się
Wtedy