Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:
Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:
Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:
Dowody dla składowych i są analogiczne.
A więc lewa i prawa strona tezy są równe.
Postać wektorowa Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.
Niech będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości otoczonej powierzchnią Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać:
gdzie jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni na powierzchni a jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze
Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.
Zobacz też prawo Gaussa (elektryczność) twierdzenie Stokesa
Przypisy
Linki zewnętrzne Divergence theorem, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-03-12].
O