Operator Laplace’a, laplasjan – operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać:
Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.
Zastosowania (1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np. w równaniu przewodnictwa cieplnego w równaniu falowym jako część hamiltonianu jako przestrzenna składowa operatora d’Alemberta
(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.
Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie Definicja operatora Laplace’a w -wymiarowym układzie kartezjańskim
Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe (1) Operator Laplace’a w -wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
gdzie: – współrzędne krzywoliniowe, – współczynniki Lamego, tj.
gdzie: – wyrazy diagonalne kowariantnego tensora metrycznego we współrzędnych krzywoliniowych.