Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.
(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy
czyli
Współrzędne sferyczne Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych
lub
Współrzędne walcowe Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych
Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.
Współrzędne sferyczne są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą zależności
Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)
zatem współczynniki Lamego są następujące
Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór