W dalszych rozważaniach rozpatrujemy tylko
Rozpatrzmy następujące przypadki: leży poza odcinkiem bliżej punktu czyli
leży na odcinku czyli
leży poza odcinkiem bliżej punktu czyli
Zatem jeśli przyjmiemy zwrot zgodny z wektorem za dodatni, to Wektor jednoznacznie wyznacza punkt
Zatem na prostej jest dokładnie jeden taki punkt że jego potęga względem obu okręgów jest taka sama. Weźmy pewien punkt leżący na prostopadłej do przechodzącej przez Pokażemy, że potęga punktu jest taka sama dla obu okręgów.
Potęga jest taka sama względem obu okręgów, więc:
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że oraz
więc
czyli dla dowolnego punktu leżącego na prostej prostopadłej do przechodzącej przez punkt potęga względem obu okręgów jest taka sama.
Załóżmy, że pewien punkt leży poza prostą potęgową i Niech będzie jego rzutem prostokątnym na prostą łączącą środki okręgów
Zatem na prostej są dwa różne punkty, których potęga względem obu okręgów jest taka sama – oraz co nie jest możliwe. Zatem wszystkie punkty o tej samej potędze względem dwóch okręgów leżą na prostej potęgowej.