Operator konsekwencji – pojęcie wprowadzone do logiki przez Alfreda Tarskiego. Motywacją dla jego wprowadzenia była formalizacja pojęcia konsekwencji określonego zbioru przesłanek.
Definicja Niech będzie dowolnym zbiorem. Operatorem konsekwencji w zbiorze jest funkcja spełniająca warunki:
dla
przy czym i implikują, że
Co więcej, warunki – , równoważne są warunkowi:
Zbiory sprzeczne Zbiór jest -sprzeczny, jeśli
Zbiór, który nie jest -sprzeczny, jest -niesprzeczny.
Teorie, zupełność Punkty stałe operatora konsekwencji nazywa się czasem jego teoriami.
Teoria -zupełna, to maksymalna teoria -niesprzeczna:
Uwaga. Rodzina wszystkich -teorii z działaniami
jest kratą zupełną.
dowód. Jeśli są teoriami, to
W szczególności część wspólna dwóch teorii jest teorią, czyli w rodzinie teorii zbiór jest kresem dolnym pary teorii Aby pokazać, że jest kresem górnym pary teorii niech będzie teorią ograniczającą obie te teorie z góry. Wówczas co kończy dowód. 2. Zupełność. Jeśli są teoriami, to oraz
Krata nie musi być rozdzielna.
Zwartość Operator konsekwencji jest zwarty, jeśli każdy zbiór -sprzeczny zawiera skończony -sprzeczny podzbiór.
Twierdzenia Lindenbauma Dla zwartych operatorów konsekwencji zachodzi następujące twierdzenie: