Twierdzenie (Lindenbaum) Załóżmy, że jest zwarta. Jeśli jest niesprzeczne, to istnieje zupełna teoria zupełna zawierająca
Znane także w nieco ogólniejszej wersji pod postacią:
Twierdzenie (relatywne tw. Lindenbauma) Niech będzie teorią i niech będzie takie, że dla jakiegokolwiek z tego, że wynika, że dla pewnego skończonego Wówczas istnieje teoria zawierająca dla której o ile tylko
Oba twierdzenia łatwo się dowodzi z Lematu Kuratowskiego-Zorna. Okazuje się jednakWojciech Dzik, The Existence of Lindenbaum’s Extensions Is Equivalent to the Axiom of Choice. 13, 1981, 29-31., że są one równoważne Pewnikowi Wyboru.
Niech bowiem będzie parami rozłączną niepustą rodziną zbiorów niepustych, niech i niech jest zwarty i jest -niesprzeczne. Istnieje zatem -zupełna teoria Gdyby dla pewnego przekrój był pusty, to zbiór byłby niesprzecznym rozszerzeniem zbioru co jest niemożliwe.
To wystarczy, bowiem pierwsze z twierdzeń Lindenbauma wynika z twierdzenia drugiego.
Finitarność Operator konsekwencji jest finitarny, jeśli
Uwaga. Finitarny operator konsekwencji ze skończonym zbiorem sprzecznym jest zwarty.
Dowód. Niech będzie skończonym zbiorem sprzecznym i niech dany będzie dowolny sprzeczny Wówczas skąd z finitarności, istnieją dla których Wówczas jednak, jest sprzeczny.