Jeśli norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej tożsamości polaryzacyjnej:
Równoważność norm Definicja 3 (pojęcia równoważności norm).
Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są równoważnymi, gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą topologię.
Uwaga: Badanie równoważności norm sprowadza się z powyższej racji do badania równoważności metryk.
Twierdzenie 4 (o równoważności norm).
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności norm w przestrzeni jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych które dla każdego elementu spełniają warunek
Twierdzenie 5 (o zupełności norm).
Z powyższego wynika bezpośrednio, że:
Jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest zupełna (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna.
Twierdzenie 6.
W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne.
Twierdzenie 7.