W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm.
Przykłady przestrzeni unormowanych (1) Przestrzenie należące do przestrzeni Banacha, np. przestrzenie Lp, przestrzenie Sobolewa, przestrzenie Hardy’ego.
(2) Każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która nie jest domknięta, jest przestrzenią unormowaną (ale nie jest przestrzenią Banacha).
(3) Przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych, których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych jest przestrzenią unormowaną, ale niezupełną (przestrzeń ta jest podprzestrzenią przestrzeni ).
(4) Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej) – to przestrzeń unormowana, ale niezupełna.
Norma a metryka i topologia Metryka indukowana przez normę W przestrzeni unormowanej wzór
dla definiuje metrykę na przestrzeni Mówimy, że norma indukuje metrykę.