Z algebry liniowej wiadomo, że jeżeli to wartość można przedstawić w postaci
Nierówność trójkąta dla normy pociąga, iż
Niech Z faktu
dla pewnego wynika, że wszystkie normy określone w przestrzeni skończeniewymiarowej są równoważne. Ostatecznie:
Powyższe oszacowanie pokazuje, że jest operatorem ograniczonym, a zatem jest ciągły.
Jeżeli jest przestrzenią nieskończeniewymiarową, to powyższy dowód załamie się, gdyż nie ma gwarancji istnienia skończonego supremum Jeżeli jest przestrzenią zerową to jedynym przekształceniem między a jest przekształcenie zerowe, które jest ciągłe w trywialny sposób. We wszystkich innych przypadkach, gdy jest nieskończeniewymiarowa, a nie jest zerowa, można znaleźć przekształcenie nieciągłe z w
Przykład Stosunkowo łatwo skonstruować przykłady operatorów liniowych nieciągłych w przestrzeniach niezupełnych; operator liniowy może rosnąć nieograniczenie na ciągu Cauchy’ego wektorów liniowo niezależnych, który nie ma granicy. Obrazowo: operatory liniowe mogą nie być ciągłe, ponieważ przestrzeń jest, w pewnym sensie, „dziurawa”.