Niech będzie przestrzenią funkcji różniczkowalnych określonych na przedziale z normą supremum, tzn.
Przekształcenie pochodnej w punkcie określone na o wartościach rzeczywistych, dane wzorem
jest liniowe, lecz nie jest ciągłe. Rzeczywiście, niech dany będzie ciąg
dla Ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do funkcji stale równej zeru, ale
przy zamiast jak by to było w przypadku operatora ciągłego. Ponieważ ma wartości rzeczywiste, jest więc funkcjonałem liniowym na (elementem przestrzeni sprzężonej algebraicznie). Przekształcenie liniowe które przypisuje każdej funkcji jej pochodną jest podobnie nieciągłe. Należy zwrócić uwagę, iż choć operator pochodnej nie jest ciągły, to jest domknięty.
Wyżej istotnie korzystano z faktu, iż rozważana przestrzeń nie była zupełna.
Przykład niekonstruktywny Ciało liczb rzeczywistych traktowane jako przestrzeń liniowa nad ciałem liczb wymiernych ma, na mocy aksjomatu wyboru, bazę nazywaną bazą Hamela (niektórzy matematycy bazą Hamela nazywają bazę dowolnej przestrzeni liniowej). Liczby 1 i , jako elementy przestrzeni liczb rzeczywistych nad ciałem liczby wymiernych, są liniowo niezależne. Z twierdzenia Steinitza wynika, że można znaleźć taką bazę Hamela, która zawiera te elementy.