Na mocy twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie wynika, że dowolną funkcję określoną na elementach bazy Hamela można przedłużyć do przekształcenia liniowego określonego na Niech będzie bazą Hamela taką, że oraz niech będzie określone następująco: oraz dla elementów zbioru różnych od Niech ponadto będzie takim przekształceniem liniowym, że Jeżeli jest ciągiem liczb wymiernych, zbieżnym do to zachodzi
Funkcja jest przykładem nieciągłego odwzorowania -liniowego. Można pokazać, że odwzorowanie -liniowe jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest mierzalneG. de Barra, Measure Theory and Integration, Ellis Horwod Limited, Nowy Jork, 1981..
Ogólne twierdzenie o istnieniu Można dowieść istnienia nieciągłych operatorów liniowych w przypadku ogólnym; nawet, gdy rozważana przestrzeń jest zupełna. Niech i będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem gdzie lub Bez zmniejszania ogólności można założyć, że jest nieskończeniewymiarowa, a nie jest zerowa. Dowód polega na wskazaniu nieciągłego funkcjonału liniowego co będzie pociągać istnienie nieciągłego operatora liniowego danego wzorem gdzie jest dowolnym niezerowym wektorem przestrzeni