dla każdego punktu istnieje granica
Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci
gdzie jest podziałem przedziału przy długościach podziałów dążących do zera.
Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy’ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli jest taką funkcją i jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż
Więcej, złożenie funkcji jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy’ego. Zatem, ponieważ jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że
co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy’ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.
Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy’ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.