Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji jest, że jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego Taka funkcja jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.
Funkcje holomorficzne między przestrzeniami Banacha Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha i nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego w funkcję nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie istnieje pochodna Frécheta funkcji W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżnościLawrence A.