Był pod dużą presją ze strony holenderskich brukowców, które bardzo często wracały do sprawy wypadku, w którym zginął dyrektor jednego z amsterdamskich teatrów, Marten Putman, a jego żona odniosła poważne obrażenia po tym, jak w ich samochód wjechało rozpędzone BMW prowadzone przez Kluiverta, czy też oskarżania go o zbiorowy gwałt na dziewczynie, którego jednak nigdy mu nie udowodniono.
W 2002 roku, na gali MTV Awards w Barcelonie, Kluivert wręczył pokojową nagrodę MTV "Free Your Mind" organizacji 'Football Against Racism', zajmującej się zwalczaniem rasizmu w sporcie. Miesiąc po tym zdarzeniu, w trakcie spotkania Mallorca-Barcelona, każdy kontakt Kluiverta z piłką kwitowany był przez kibiców Mallorki gwizdami, buczeniem i odgłosami wydawanymi przez małpę.
Syn piłkarza, urodzony w 1999 roku Justin Kluivert, również jest piłkarzem. W 2017 roku zadebiutował w barwach Ajaxu Amsterdam.
Statystyki Sezon Klub Rozgrywki Mecze Bramki 1994/95 AFC Ajax Eredivisie 25 18 1995/96 Eredivisie 28 15 1996/97 Eredivisie 17 6 1997/98 A.C.