Wybór układu współrzędnych związanego z obserwatorem swobodnie spadającym w polu grawitacyjnym powoduje zerowanie się symboli Christoffela dla punktów w pobliżu początku układu współrzędnych (w układach tych ciała są w stanie nieważkości).
Przykład – współrzędne biegunowe Liczenie wektorów bazy Obliczymy wektory bazowe dla układu współrzędnych biegunowych
Tutaj Między tymi współrzędnymi a współrzędnymi kartezjańskimi ( oznacza teraz współrzędną kartezjańską, nie punkt w rozmaitości) zachodzą związki:
Wektory bazy mają postać:
Długości wektorów bazy wynoszą: gdzie – iloczyn skalarny wektora
Widać, że długość wektora rośnie proporcjonalnie do – nie jest to wektor jednostkowy! Fakt ten jest słuszny w ogólności, gdy wektory bazy są liczone za pomocą wyżej podanego wzoru. Stąd m.in. wynika zmiana współrzędnych wektorów pola wektorowego podczas przemieszczania się z danego punktu do innego punktu, w szczególności infinitezymalnie oddalonego – gdyby pole wektorowej było stałe np.