Przykłady Niech dana będzie funkcja wypukła Jej subróżniczką w początku układu jest przedział subróżniczka w dowolnym punkcie jest równa zbiorowi jednoelementowemu zaś w punktach jest nią zbiór
Własności Funkcja wypukła jest różniczkowalna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w Punkt jest minimum globalnym funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu w punkcie Własność ta jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.
Subgradient
Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej to wektor tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie należącym do jeśli dla każdego z zachodzi
gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.
Zbiór wszystkich subgradientów w nazywa się subróżniczką w i oznacza symbolem Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn.