w -tej kolumnie macierzy stoją współrzędne wektora w bazie Macierz przekształcenia w bazach będzie oznaczana także symbolem
Uwaga: w dalszej części artykułu wszystkie przestrzenie liniowe oraz macierze są zbudowane nad ustalonym ciałem
Własności Odpowiedniość między przekształceniami liniowymi i ich macierzami
Przyporządkowanie każdemu przekształceniu liniowemu jego macierzy zadaje izomorfizm liniowy przestrzeni przekształceń liniowych oraz przestrzeni macierzy Liniowość wynika wprost z własności działań na macierzach,
a ponadto każde przekształcenie liniowe jest zadane jednoznacznie przez podanie wartości na bazie, tzn. Stąd odwzorowanie przyporządkowujące przekształceniom liniowym ich macierze jest wzajemnie jednoznaczne. Wynika stąd w szczególności, że jeśli oraz to
Mnożenie macierzy a obraz wektora w przekształceniu
Jeśli wektor ma współrzędne w bazie zaś wektor ma współrzędne w bazie przy czym to
co można zapisać gdzie są macierzami jednokolumnowymi (tzw. wektorami kolumnowymi) odpowiadającymi wektorom Z definicji macierzy przekształcenia wynika
Zamiana współrzędnych i jej macierze W szczególnym przypadku, jeśli są bazami przestrzeni i macierz gdzie jest przekształceniem identycznościowym, to jeśli wektor ma współrzędne w bazie zaś są jego współrzędnymi w bazie to