Zdefiniujmy homomorfizm Homomorfizm przestrzeni liniowych i nad ciałem to funkcja taka, że
dla dowolnych Zdefiniujmy wzorem
Mamy
dla dowolnych a zatem jest homomorfizmem.
Zdefiniujmy funkcję wzorem
gdzie to z definicji wewnętrznej sumy prostej jedyne takie przedstawienie wektora że Dla i utwórzmy sumę Z definicji wewnętrznej sumy prostej istnieje tylko jedno przedstawienie
takie, że
jest takim przedstawieniem, a zatem jest jedyne. Wynika z tego, że
A zatem jest homomorfizmem.
Złożenia i są funkcjami identycznościowymi:
dla i Oznacza to z definicji funkcji odwrotnej, że i są funkcjami wzajemnie odwrotnymi
a zatem jest izomorfizmem i
Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą Jeżeli jest podprzestrzenią liniową przestrzeni to zawsze istnieje taka podprzestrzeń że
W algebrze liniowej, podprzestrzenie i nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.
Przykłady Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji Niech oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech będą zdefiniowane jako: – przestrzeń liniowa funkcji nieparzystych, – przestrzeń liniowa funkcji parzystych.
Dowolną funkcje można przedstawić jako sumę
gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą.