Rozkład ten jest jednoznaczny.
Dowód (niewprost)
Załóżmy, że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:
lub równoważnie
Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że oraz
co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.
Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych Klaudiusz Wójcik, Rozdział 9. Suma prosta [w:] Algebra liniowa z geometrią 1, Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego (IM UJ), im.uj.edu.pl [dostęp 2026-08-07].:
Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych W przestrzeni liniowej macierzy każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.
gdzie: – macierz transponowana macierzy – macierz symetryczna, – macierz antysymetryczna.
Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń przestrzeni liniowej macierzy, gdyż:
a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,
b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.