Iloczyn skalarny elementów i w sumie prostej spełnia warunek
Pojęcie -sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha Zbl 0005.20901.. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał DayMahlon M. Day. Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, Bulletin of the American Mathematical Society 47, s. 313–317., natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez KakutaniegoShizuo Kakutani, Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, s. 523–537..
Suma prosta operatorów ograniczonych Jeżeli jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, i tj.
to dla ustalonego definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych -sumę rodziny tj. operator
zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem -sumy. W szczególności, -suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz
Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to -sumę operatorów nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.
Zobacz też