nazwa twierdzenie Bézouta odnosi się wtedy do faktu, iż równanie
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczby całkowite oraz są względnie pierwsze.
Algorytm Liczby Bézouta i można wyznaczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa, nie są one jednak wyznaczone jednoznacznie: jeśli dane jest rozwiązanie to istnieje ich nieskończenie wiele i są one postaci
Przykład Największym wspólnym dzielnikiem i jest Tożsamość Bézouta mówi, że musi istnieć całkowite rozwiązanie na oraz następującego równania:
Jednym z tych rozwiązań jest oraz istotnie: Innym rozwiązaniem jest np. oraz
Dowód Jeden z dowodówAlgorytm Euklidesa. tożsamości Bézouta wykorzystuje algorytm dzielenia z resztą i fakt dobrego uporządkowania zbioru dodatnich liczb całkowitych. Niech i będą dowolnymi niezerowymi liczbami całkowitymi, zaś oznacza zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych postaci gdzie oraz są liczbami całkowitymi. Zbiór jest niepusty, co oznacza, że na mocy dobrego jego uporządkowania istnieje element najmniejszy,
Na mocy algorytmu dzielenia z resztą istnieją również takie liczby całkowite oraz dla których przy czym Jednakże
Jeśli jest dodatnia, tzn.