Uwaga nt. terminologii: zbiory otwarte i domknięte a przedziały otwarte i domknięte Pojęcia „zbioru otwartego” i „zbioru domkniętego” nawiązują do pojęć przedziału otwartego i domkniętego na prostej rzeczywistej . W topologii standardowej w przedziały otwarte są zbiorami otwartymi, a przedziały domknięte są zbiorami domkniętymi. Jednak nie jest tak w każdej topologii, jaką można zdefiniować w . Definicja topologii jest abstrakcyjna – odrywa pojęcie „otwartości” od konkretnego przypadku przedziałów w .
Np. w topologii dyskretnej w zakłada się, że zbiorami otwartymi są wszystkie podzbiory (topologia jest zbiorem potęgowym ). W topologii tej zbiorami otwartymi są przedziały otwarte, przedziały domknięte, np. , a także pojedyncze punkty, zbiór Cantora, zbiór Vitaliego itd. Rodzina spełnia bowiem aksjomaty topologii, gdyż:
suma dowolnej rodziny podzbiorów jest podzbiorem , a więc należy do przecięcie skończonej rodziny podzbiorów jest podzbiorem , a więc należy do
Co więcej, w topologii dyskretnej każdy podzbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty. Istotnie, jeżeli , to jest otwarty. Ale jego dopełnienie również jest zbiorem otwartym, bo jest podzbiorem .