Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).
Wprowadzone zostały przez Maurice’a FréchetaSur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74..
Definicja metryki Niech oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze nazywa się funkcjęKołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2012, s. 31.
która dla dowolnych elementów tego zbioru spełnia warunki: identyczność nierozróżnialnych
symetria
nierówność trójkąta
Gdy jest metryką w zbiorze to parę nazywa się przestrzenią metryczną, elementy zbioru nazywa się punktami, liczbę nazywa się odległością punktu od punktu
Uwaga 1. Niekiedy pomija się warunek nieujemności przyjmując zamiast
Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:
Uwaga 2.