Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:
Dowód:
1) Przyjmując w powyższym warunku dostaniemy:
2) Zamieniając w powyższym warunku i oraz przyjmując dostaniemy:
3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: c.n.d.
Metryki w przestrzeni liniowej W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach oraz oznaczają elementy przestrzeni
Metryka euklidesowa Metrykę euklidesową w przestrzeni definiuje się wzorem
tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:
W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów oraz
Metryka generowana przez normę Jeżeli jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów tj. dla
Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np.