Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.
Metryka rzeka thumb|200px|Odległość w metryce rzeka. Niech będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość punktów w metryce rzece wyznacza się następująco: Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej to
w przeciwnym wypadku
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą
Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń w której ustalono pewną jej prostą
Metrykę tę można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).
Uogólniona metryka rzeka Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową wymiaru a spełniającego Niech ponadto przy czym Jeżeli punkty leżą na pewnej rozmaitości wymiaru prostopadłej do rozmaitości to
w przeciwnym wypadku
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą
Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego.
Metryka dyskretna Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze.